目录
第 *章 通过代码学数学　　*
*.*　使用数学和软件解决商业问题　2
*.*.*　预测金融市场走势　2
*.*.2　寻找*质交易　4
*.*.3　构建三维图形和动画　6
*.*.4　对物理*建模　8
*.2　如何*效学习数学　9
*.2.*　Jane想学习数学　9
*.2.2　在数学课本中苦苦挣扎　*0
*.3　用上你训练有素的左脑　**
*.3.*　使用正式的语言　**
*.3.2　构建你自己的计算器　*2
*.3.3　用函数建立抽象概念　*3
*.4　小结　*4
第　**分 向量和图形
第　2章 二维向量绘图　*6
2.*　二维向量绘图　*6
2.*.*　如何表示二维向量　*8
2.*.2　用Python绘制二维图形　20
2.*.3　练习　23
2.2　平面向量运算　25
2.2.*　向量的分量和长度　28
2.2.2　向量与数相乘　29
2.2.3　减法、位移和距离　3*
2.2.4　练习　34
2.3　平面上的角度和三角学　4*
2.3.*　从角度到分量　42
2.3.2　Python中的三角学和弧度　46
2.3.3　从分量到角度　47
2.3.4　练习　50
2.4　向量集合的变换　57
2.4.*　组合向量变换　59
2.4.2　练习　60
2.5　用Matplotlib绘图　6*
2.6　小结　62
第3章　上*到三维*　63
3.*　在三维空间中绘制向量　64
3.*.*　用坐标表示三维向量　66
3.*.2　用Python进行三维绘图　66
3.*.3　练习　68
3.2　三维空间中的向量运算　70
3.2.*　添加三维向量　70
3.2.2　三维空间中的标量乘法　72
3.2.3　三维向量减法　72
3.2.4　计算长度和距离　73
3.2.5　计算角度和方向　74
3.2.6　练习　75
3.3　点积：测量向量对齐　78
3.3.*　绘制点积　78
3.3.2　计算点积　80
3.3.3　点积的示例　82
3.3.4　用点积测量角度　83
3.3.5　练习　85
3.4　向量积：测量定向区域　88
3.4.*　在三维空间中确定自己的朝向　88
3.4.2　找到向量积的方向　89
3.4.3　求向量积的长度　9*
3.4.4　计算三维向量的向量积　92
3.4.5　练习　93
3.5　在二维平面上渲染三维对象　96
3.5.*　使用向量定义三维对象　97
3.5.2　二维投影　98
3.5.3　确定面的朝向和阴影　99
3.5.4　练习　*0*
3.6　小结　*02
第4章　变换向量和图形　*03
4.*　变换三维对象　*05
4.*.*　绘制变换后的对象　*05
4.*.2　组合向量变换　*07
4.*.3　绕轴旋转对象　**0
4.*.4　*造属于你自己的几何变换　**3
4.2　线性变换　**7
4.2.*　向量运算的*变性　**7
4.2.2　图解线性变换　**9
4.2.3　为什么要做线性变换　*2*
4.2.4　计算线性变换　*24
4.2.5　练习　*27
4.3　小结　*32
第5章　使用矩阵计算变换　*34
5.*　用矩阵表示线性变换　*35
5.*.*　把向量和线性变换写成矩阵形式　*35
5.*.2　矩阵与向量相乘　*36
5.*.3　用矩阵乘法组合线性变换　*38
5.*.4　实现矩阵乘法　*40
5.*.5　用矩阵变换表示三维动画　*4*
5.*.6　练习　*42
5.2　*同形状矩阵的含义　*48
5.2.*　列向量组成的矩阵　*49
5.2.2　哪些矩阵可以相乘　*5*
5.2.3　将方阵和非方阵视为向量函数　*52
5.2.4　从三维到二维的线性映射投影　*54
5.2.5　组合线性映射　*56
5.2.6　练习　*57
5.3　用矩阵平移向量　*63
5.3.*　线性化平面平移　*63
5.3.2　寻找做二维平移的三维矩阵　*67
5.3.4　在四维*里平移三维对象　*70
5.4　小结　*74
第6章　*维泛化　*76
6.*　泛化向量的定义　*77
6.*.*　为二维坐标向量*建*个类　*78
6.*.3　使用同样的方法定义三维向量　*79
6.*.4　构建向量基类　*80
6.*.5　定义向量空间　*82
6.*.6　对向量空间类进行单元测试　*85
6.2　探索*同的向量空间　*88
6.2.*　枚举所有坐标向量空间　*88
6.2.2　识别现实中的向量　*90
6.2.3　将函数作为向量处理　*92
6.2.4　将矩阵作为向量处理　*94
6.2.5　使用向量运算来操作图像　*95
6.2.6　练习　*98
6.3　寻找更小的向量空间　205
6.3.*　定义子空间　205
6.3.2　从单个向量开始　207
6.3.3　生成更大的空间　207
6.3.4　定义“维度”的概念　209
6.3.5　寻找函数向量空间的子空间　2*0
6.3.6　图像的子空间　2*2
6.3.7　练习　2*4
6.4　小结　220
第7章　求解线性方程组　222
7.*　设计*款街机游戏　223
7.*.*　游戏建模　223
7.*.2　渲染游戏　224
7.*.3　发射激光　225
7.*.4　练习　226
7.2　找到直线的交点　227
7.2.*　为直线选择正确的公式　227
7.2.2　直线的标准形式方程　229
7.2.3　线性方程组的矩阵形式　23*
7.2.4　使用NumPy求解线性方程组　233
7.2.6　识别*可解方程组　234
7.2.7　练习　236
7.3　将线性方程泛化到更*维度　240
7.3.*　在三维空间中表示平面　240
7.3.2　在三维空间中求解线性方程组　243
7.3.4　计算维数、方程和解　245
7.3.5　练习　246
7.4　通过解线性方程来改变向量的基　253
7.4.*　在三维空间中求解　255
7.4.2　练习　256
7.5　小结　257
第二*分　微积分和物理仿真
第8章　理解变化率　26*
8.*　根据体积计算平均流速　262
8.*.*　实现average_flow_rate函数　263
8.*.2　用割线描绘平均流速　264
8.*.3　负变化率　265
8.*.4　练习　266
8.2　绘制*间变化的平均流速　266
8.2.*　计算*同时间段内的平均流速　267
8.2.2　绘制间隔流速图　268
8.2.3　练习　270
8.3　瞬时流速的近似值　27*
8.3.*　计算小割线的斜率　272
8.3.2　构建瞬时流速函数　274
8.3.3　柯里化并绘制瞬时流速函数　277
8.4　体积变化的近似值　278
8.4.*　计算短时间间隔内的体积变化　279
8.4.2　将时间分割成更小的间隔　280
8.4.3　在流速图上绘制体积变化的图形　280
8.4.4　练习　283
8.5　绘制*间变化的体积图　283
8.5.*　计算*间变化的体积　283
8.5.2　绘制体积函数的黎曼和　285
8.5.3　提*近似结果的*确度　286
8.5.4　定积分和*定积分　288
8.6　小结　290
第9章　模拟运动的对象　29*
9.*　模拟匀速运动　29*
9.*.*　给小行星设置速度　292
9.*.2　更新游戏引擎，让小行星运动　292
9.*.3　*持小行星在屏幕上　293
9.*.4　练习　295
9.2　模拟加速　295
9.3　深入研究欧拉方法　296
9.3.*　手动计算欧拉方法　297
9.3.2　使用 Python 实现算法　298
9.4　用更小的时间步执行欧拉方法　300
9.5　小结　305
第　*0章 使用符号表达式　306
*0.*　用计算机代数系统计算*确的导数　309
*0.2.*　将表达式拆分成若干*分　3*0
*0.2.3　使用Python语言实现表达式树　3**
*0.2.4　练习　3*3
*0.3　符号表达式的应用　3*5
*0.3.*　寻找表达式中的所有变量　3*7
*0.3.3　表达式展开　3*9
*0.3.4　练习　32*
*0.4　求函数的导数　323
*0.4.*　幂的导数　324
*0.4.2　变换后函数的导数　324
*0.4.3　*些*殊函数的导数　326
*0.4.4　乘积与组合的导数　327
*0.4.5　练习　328
*0.5　自动计算导数　330
*0.5.*　实现表达式的导数方法　330
*0.5.2　实现乘积法则和链式法则　332
*0.5.4　练习　334
*0.6　符号化积分函数　335
*0.6.*　积分作为反导数　335
*0.6.2　SymPy库介绍　336
*0.6.3　练习　337
*0.7　小结　338
第　**章 模拟力场　339
**.*　用向量场对引力建模　339
**.2　引力场建模　342
**.2.*　定义*个向量场　343
**.2.2　定义*个简单的力场　344
**.3　把引力加入小行星游戏　345
**.3.*　让游戏中的对象感受到引力　346
**.3.2　练习　349
**.4　引入势能　350
**.4.*　定义势能标量场　35*
**.4.2　将标量场绘制成热图　352
**.4.3　将标量场绘制成等*线图　354
**.5.*　用横截面测量陡度　354
**.5.2　计算偏导数　356
**.5.3　用梯度求图形的陡度　357
**.5.4　用势能的梯度计算力场　359
**.5.5　练习　36*
**.6　小结　364
第　*2章 *化物理系统　365
*2.*　测试炮弹模拟器　367
*2.*.*　用欧拉方法建立模拟器　368
*2.*.2　测量弹道的属性　369
*2.*.3　探索*同的发射角度　370
*2.*.4　练习　37*
*2.2　计算最佳射程　373
*2.2.*　求炮弹射程关于发射角的函数　373
*2.2.2　求最大射程　376
*2.2.3　确定最大值和最小值　378
*2.2.4　练习　379
*2.3　增强模拟器　38*
*2.3.*　添加另*个维度　38*
*2.3.2　在炮弹周围建立地形模型　383
*2.3.4　练习　386
*2.4　利用梯度上**化范围　388
*2.4.*　绘制射程与发射参数的关系图　388
*2.4.2　射程函数的梯度　389
*2.4.3　利用梯度寻找上坡方向　390
*2.4.4　实现梯度上*　392
*2.4.5　练习　395
*2.5　小结　399
第　*3章 用傅里叶级数分析声波　400
*3.*　声波的组合和分解　40*
*3.2　用Python播放声波　402
*3.2.*　产生第 *个声音　402
*3.2.2　演奏音符　405
*3.2.3　练习　406
*3.3　把正弦波转化为声音　406
*3.3.*　用正弦函数制作音频　406
*3.3.2　改变正弦函数的频率　408
*3.3.3　对声波进行采样和播放　409
*3.3.4　练习　4**
*3.4　组合声波得到新的声波　4*2
*3.4.*　叠加声波的样本来构造和弦　4*2
*3.4.2　两个声波叠加后的图形　4*3
*3.4.3　构造正弦波的线性组合　4*4
*3.4.4　用正弦波构造*个熟悉的函数　4*6
*3.4.5　练习　4*9
*3.5　将声波分解为傅里叶级数　4*9
*3.5.*　用内积确定向量分量　420
*3.5.2　定义周期函数的内积　42*
*3.5.3　实现*个函数来计算傅里叶系数　423
*3.5.4　求方波的傅里叶系数　424
*3.5.5　其他波形的傅里叶系数　424
*3.5.6　练习　426
*3.6　小结　428
第三*分　机器学习的应用
第　*4章 数据的函数拟合　43*
*4.*　衡量函数的拟合质量　433
*4.*.*　计算数据与函数的距离　434
*4.*.2　计算误差的平方和　436
*4.*.3　计算汽车*格函数的代*　440
*4.2　探索函数空间　44*
*4.2.*　绘制通过原点的直线的代*　442
*4.2.2　所有线性函数的空间　443
*4.2.3　练习　445
*4.3　使用梯度下降法寻找最佳拟合线　445
*4.3.*　缩放数据　445
*4.3.2　找到并绘制最佳拟合线　446
*4.3.3　练习　447
*4.4　非线性函数拟合　448
*4.4.*　理解指数函数的行为　448
*4.4.2　寻找最佳拟合的指数函数　45*
*4.5　小结　453
第　*5章 使用logistic回归对数据分类　455
*5.*　用真实数据测试分类函数　456
*5.*.*　加载汽车数据　457
*5.*.2　测试分类函数　458
*5.*.3　练习　458
*5.2　绘制决策边界　460
*5.2.*　绘制汽车的向量空间　460
*5.2.2　绘制更好的决策边界　46*
*5.2.3　实现分类函数　462
*5.2.4　练习　463
*5.3　将分类问题构造为回归问题　464
*5.3.*　缩放原始汽车数据　464
*5.3.2　衡量汽车的“宝马性”　465
*5.3.3　sigmoid函数　467
*5.3.4　将sigmoid函数与其他函数组合　468
*5.3.5　练习　470
*5.4　探索可能的logistic函数　47*
*5.4.*　参数化logistic函数　472
*5.4.2　衡量logistic函数的拟合质量　472
*5.4.3　测试*同的logistic函数　474
*5.4.4　练习　475
*5.5　寻找最佳logistic函数　477
*5.5.*　三维中的梯度下降法　477
*5.5.2　使用梯度下降法寻找最佳拟合　478
*5.5.3　测试和理解最佳logistic分类器　479
*5.5.4　练习　48*
*5.6　小结　483
第　*6章 训练*经网络　484
*6.*　用*经网络对数据进行分类　485
*6.2　手写数字图像分类　486
*6.2.*　构建64维图像向量　487
*6.2.2　构建随机数字分类器　488
*6.2.3　测试数字分类器的表现　489
*6.2.4　练习　490
*6.3　设计*经网络　49*
*6.3.*　组织*经元和连接　492
*6.3.2　*经网络数据流　492
*6.3.3　计算激活值　495
*6.3.4　用矩阵表示法计算激活值　498
*6.4　用Python构建*经网络　499
*6.4.*　用Python实现MLP类　500
*6.4.2　评估MLP　502
*6.4.3　测试MLP的分类效果　503
*6.4.4　练习　504
*6.5　使用梯度下降法训练*经网络　504
*6.5.*　将训练构造为最小化问题　505
*6.5.3　使用scikit-learn自动训练　507
*6.6　使用反向传播计算梯度　509
*6.6.*　根据最后*层的权重计算代*　509
*6.6.2　利用链式法则计算最后*层权重的偏导数　5*0
*6.6.3　练习　5*2
*6.7　小结　5*3
附录A　准备Python（图灵社区下载）
附录B　Python技巧和窍门（图灵社区下载）
附录C　使用OpenGL和PyGame加载和渲染三维模型（图灵社区下载）
附录D　数学符号参考（图灵社区下载）


作者介绍
【作者简介】 *罗·奥兰德（Paul Orland） 硅谷*业公司Tachyus的联合*始人兼CEO，拥有耶鲁大学数学学士学位和华盛顿大学物理学硕士学位，曾任微软公司软件开发工程师，近*0年来*直*力于使用数学和函数式编程来*化能源生产。 【译者简介】 *度KFive KFive是*度App大前端团队，成员涵盖PC端和手机*度的大前端研发者。在业务支持之外，KFive研究的技术方向还*括前端基础架构、跨端开发、Node.js、端智能和前端智能化等，并且积累了丰富的产出。KFive的名称**来源于起初的办公地点在*度科技园五号楼，更体现了其对软件开发的理解，*“五Key”：Key*者，*益求*；Key2者，大巧*工；Key3者，*运匠心；Key4者，*炼千锤；Key5者，善始善*。